Question

16．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求点P到平面EFG的距离；
（2）求平面EFG与平面PAB夹角余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点P到平面EFG的距离．
（2）求出平面PAB的法向量和平面EFG的法向量，由此能求出平面EFG与平面PAB夹角的余弦值．

解答 解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，
且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA、PB、BC的中点，
∴过P作PO⊥平面ABCD，交AD于O，
以O为原点，OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2$\sqrt{3}$），A（0，-2，0），B（4，-2，0），
E（0，-1，$\sqrt{3}$），F（2，-1，$\sqrt{3}$），G（4，0，0），
$\overrightarrow{GP}$=（-4，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（-4，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GF}$=（-2，-1，$\sqrt{3}$），
设平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{n}=-4x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}=-2x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
∴点P到平面EFG的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|6|}{\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（4，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=4a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=2b+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取B=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
设平面EFG与平面PAB夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{2}$．
∴平面EFG与平面PAB夹角的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查面面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．