Question

3．已知函数f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，有g（x）+h（x）=2^x①，结合函数奇偶性的性质可得f（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②，联立①②解可得h（x）与g（x）的解析式，进而可以将g（x）＞h（0）转化为$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）＞$\frac{1}{2}$（2⁰+2^-0）=1，变形可得2^x-2^-x＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），即g（x）+h（x）=2^x，①
则有f（-x）=g（-x）+h（-x）=2^-x，
又由g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x，②
联立①②，解可得h（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），
不等式g（x）＞h（0）即$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）＞$\frac{1}{2}$（2⁰+2^-0）=1，
即2^x-2^-x＞2，
解可得2^x＞1+$\sqrt{2}$，
则有x＞log₂（1+$\sqrt{2}$），
即不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+$\sqrt{2}$，+∞）；
故答案为：（1+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，关键求出函数g（x）与h（x）的解析式．