Question

3．已知0＜θ＜$\frac{π}{2}$，若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对任意实数θ恒成立，则实数m应满足的条件是（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函数关系，可将函数的解析式化为f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分0≤m＜1，m≥1，m＜0三种情况，讨论函数的最大值，最后汇总讨论结果，即可得到答案．

解答 解：设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴当0≤m＜1时，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，函数的最大值为：m²-2m-1＜0，解得0≤m＜1；
当m≥1时，函数的最大值小于f（$\frac{π}{2}$）=-2＜0，
∴m≥1时均成立；
当m＜0时，函数的最大值小于f（0）=-2m-1＜0，m＞-$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{1}{2}＜m＜0$．
综上得m的取值范围是：（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．