Question

15．F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B，若△ABF₁为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义，可得F₂B-F₁B=F₂B-AB=F₂A=2a，AF₁-AF₂=2a，则AF₁=4a，F₁F₂=2c，再在△F₁AF₂中应用余弦定理得a，c的关系，则答案可求．

解答 解：如图，△ABF₁为等边三角形，
B为双曲线上一点，F₂B-F₁B=F₂B-AB=F₂A=2a，
A为双曲线上一点，则AF₁-AF₂=2a，
则AF₁=4a，F₁F₂=2c，
由∠BAF₁=60°，得∠F₁AF₂=120°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，
∴e²=7，得e=$\sqrt{7}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．