Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}$=1的一个焦点重合，点A（x₀，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．
（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；
（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$，|BM|²+|BN|²=40，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）依题意F（1，0），故$\frac{p}{2}=1$，则2p=4，可得抛物线C的方程．将A（x₀，2）代入抛物线方程，解得x₀，即可得|AF|的值
（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.$，消去x，得y²-4my-4=0，则${|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={（{x_1}+1）^2}+{y_1}^2+{（{x_2}+1）^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2（{x_1}+{x_2}）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16=40，解得λ．

解答 解：（1）依题意，椭圆$C'：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$中，a²=6，b²=5，故c²=a²-b²=1，故$\frac{p}{2}=1$，则2p=4，
可得抛物线C的方程为y²=4x．
将A（x₀，2）代入y²=4x，解得x₀=1，故$|{AF}|=1+\frac{p}{2}=2$．
（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.$，消去x，得y²-4my-4=0．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=-4}\end{array}}\right.$，①且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=m{y_1}+1}\\{{x_2}=m{y_2}+1}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$，则（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，
代入①得$\left\{{\begin{array}{l}{-λ{y_2}^2=-4}\\{（1-λ）{y_2}=4m}\end{array}}\right.$，消去y₂得$4{m^2}=λ+\frac{1}{λ}-2$，
易得B（-1，0），则$\overrightarrow{BM}=（{x_1}+1，{y_1}），\overrightarrow{BN}=（{x_2}+1，{y_2}）$，
则${|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={（{x_1}+1）^2}+{y_1}^2+{（{x_2}+1）^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2（{x_1}+{x_2}）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$
=${（m{y_1}+1）^2}+{（m{y_2}+1）^2}+2（m{y_1}+m{y_2}+2）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$=$（{m^2}+1）（{y_1}^2+{y_2}^2）+4m（{y_1}+{y_2}）+8$
=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16，
当16m⁴+40m²+16=40，解得${m^2}=\frac{1}{2}$，故$λ=2±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的方程与性质，直线与抛物线的位置关系，考查了向量与曲线，属于中档题．