Question

【题目】在棱长为2的正方体中.

（1）求几何体的表面积；

（2）若分别是棱的中点，求证： 平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先证明几何体是每个面都是正三角形的四面体，再利用正三角形面积公式可得结果；（2）取的中点，连，根据三角形中位线定理可证明四边形为平行四边形，从而可得，再根据线面平行的判定定理即可证明平面.

试题解析：（1）∵是棱长为2的正方体，

所以,故几何体是每个面都是正三角形的四面体，三角形的面积是 ，所以几何体的表面积是 .

(2)法一：证明：取的中点，连，

∵， ，

∵， ，

∴， ，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

法二

证明：取B1C1的中点M，连接ME，MF，

在△D1B1C1中，MF分别是边B1C1，D1C1的中点，

∴MF∥D1B1，又平面DBB1D1，D1B1平面DBB1D1，

∴MF∥平面DBB1D1，

在正方形BCC1B1中，∵ME是对边B1C1，BC的中点，∴BE∥B1M，BE=B1M，

∴四边形BEMB1是平行四边形，所以ME∥BB1，

又平面DBB1D1，BB1平面DBB1D1，

∴ME∥平面DBB1D1，又

所以平面MEF∥平面DBB1D1，且平面MEF

所以EF∥平面DBB1D1，

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及三棱锥的表面积，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.