题目内容

【题目】设F为双曲线 =1(a>b>0)的右焦点,过点F的直线分别交两条渐近线于A,B两点,OA⊥AB,若2|AB|=|OA|+|OB|,则该双曲线的离心率为(
A.
B.2
C.
D.

【答案】C
【解析】解:不妨设OA的倾斜角为锐角,

∵a>b>0,即0< <1,

∴渐近线l1的倾斜角为(0, ),

= =e2﹣1<1,

∴1<e2<2,

∵2|AB|=|OA|+|OB|,OA⊥AB,

∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2

=(|OB|﹣|OA|)(|OB|+|OA|)=2(|OB|﹣|OA|)|AB|,

∴|AB|=2(|OB|﹣|OA|),

∴|OB|﹣|OA|= |AB|,

又|OA|+|OB|=2|AB|,

∴|OA|= |AB|,

∴在直角△OAB中,tan∠AOB= =

由对称性可知:OA的斜率为k=tan( ∠AOB),

= ,∴2k2+3k﹣2=0,

∴k= (k=﹣2舍去);

= ,∴ = =e2﹣1=

∴e2=

∴e=

故选:C.

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