Question

15．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，渐近线方程是：$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$，点A（0，b），且△AF₁F₂的面积为6．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若线段PQ的垂直平分线经过点A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，渐近线方程是：$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$，点A（0，b），且△AF₁F₂的面积为6，联立方程组求得：a²=5，b²=4，由此能求出双曲线C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为D（x₀，y₀），y=kx+m与$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$联立，得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、线线垂直的性质，结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题：$\frac{b}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，①…（1分）
${S_{△A{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•b=6$，②…（2分）
又a²+b²=c²，③…（3分）
由①②③联立，解得：a²=5，b²=4．
所以双曲线C的标准方程是：$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为D（x₀，y₀），
y=kx+m与$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$联立，消y，整理得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，…（6分）
${x_1}+{x_2}=\frac{10km}{{4-5{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=-\frac{{5{m^2}+20}}{{4-5{k^2}}}$，…（7分）
由4-5k²≠0及△＞0，得$\left\{\begin{array}{l}4-5{k^2}≠0\\{m^2}-5{k^2}+4＞0\end{array}\right.$，④…（8分）
${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{5km}{{4-5{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4-5{k^2}}}$，
由题可知，AD⊥PQ，
于是${k_{AD}}=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}=\frac{{\frac{4m}{{4-5{k^2}}}-2}}{{\frac{5km}{{4-5{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}$，
化简得10k²=8-9m，⑤…（10分）
将⑤代入④解得$m＜-\frac{9}{2}$或m＞0，
又由⑤10k²=8-9m＞0，得$m＜\frac{8}{9}$，
综上，实数m的取值范围是$\{m|m＜-\frac{9}{2}$，或$0＜m＜\frac{8}{9}$}．…（12分）

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查双曲线、直线方程、根的判别式、韦达定理、线线垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．