Question

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为x²+y²=1，在以原点为极点，x轴的非负关轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$．
（1）将C₁上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和$\sqrt{3}$倍后得到曲线C₂，求曲线C₂的参数方程；
（2）若P，Q分别为曲线C₂与直线l的两个动点，求|PQ|的最小值以及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设曲线C₂上任取一点M（x，y），则点$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲线C₁上，代入整理得答案；
（2）化直线l的极坐标方程为直角坐标方程，设出P得坐标，由点到直线距离公式求出P到直线l的距离，利用三角函数求得最值．

解答 解：（1）在曲线C₂上任取一点M，设点M的坐标为M（x，y），则点$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲线C₁上，
满足${（\frac{1}{2}x）^2}+{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）^2}=1$，
∴曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）；
（2）由$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$，得ρcosθ+2ρsinθ-8=0．
∴直线l的直角坐标方程为l：x+2y-8=0，
设点$P（2cosθ\;，\;\;\sqrt{3}sinθ）$，点P到直线l的距离为$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-8|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-8|}}{{\sqrt{5}}}$，
当$θ=\frac{π}{3}$，即点P的直角坐标为$（1\;，\;\;\frac{3}{2}）$时，d取得最小值$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．