Question

10．到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点，是这个三角形的（　　）

• A． 垂心
• B． 内心
• C． 外心
• D． 重心

Answer 1

分析 设 G 是三角形 ABC 的重心，P 是平面上任一点，则|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²+|$\overrightarrow{PC}$|²=|$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}$|²=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²），由此推导出到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点，是这个三角形的重心．

解答 解：到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点，是这个三角形的重心．
证明如下：
设 G 是三角形 ABC 的重心，P 是平面上任一点，
则|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²+|$\overrightarrow{PC}$|²
=|$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}$|²
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2（$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{PG}•\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{PG}•\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2$\overrightarrow{PG}$•（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2$\overrightarrow{PG}$•（$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）
≥|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²，
当且仅当|$\overrightarrow{PG}$|=0 即 P 与 G 重合时，P 到三角形 ABC 的距离的平方和最小．
∴到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点，是这个三角形的重心．
故选：D．

点评 本题考查三角形五心\向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．