Question

18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了6个试销售数据，得到第i个销售单价x_i（单位：元）与销售y_i（单位：件）的数据资料，算得$\sum_{i=1}^6{{x_i}=51，}\sum_{i=1}^6{{y_i}=480，}\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}=4066，}\sum_{i=1}^6{{x_i}^2=434.2．}$
（1）求回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
附：回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$是样本平均值．

Answer 1

分析 （1）根据题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程；
（II）设工厂获得的利润为L元，写出函数L的解析式，利用二次函数的图象与性质求出L在何时取得最大值．

解答 解：（1）根据题意，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$x_i=$\frac{1}{6}$×51=8.5，…（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$y_i=$\frac{1}{6}$×480=60，…（2分）
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4066-6×8.5×80}{434.2-6{×8.5}^{2}}$=-20，…（4分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80-（-20）×8.5=250，…（5分）
从而回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；           …（6分）
（II）设工厂获得的利润为L元，依题意得：
L=（x-4）（-20x+250）=-20x²+330x-1000        …（8分）
=-20（x-8.25）²+361.25                           …（9分）
所以，当仅当x=8.25时，L取得最大值，…（10分）
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．         …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．