Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，焦距是短轴的$\sqrt{2}$倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（ k≠0）与椭圆交于C、D两点，|CD|=$\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆短轴长为2，焦距是短轴的$\sqrt{2}$倍，列出方程组，求出a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，由此能求出椭圆方程．
（2）将y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出直线的斜率．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，焦距是短轴的$\sqrt{2}$倍．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{2c=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1．
（2）设C（x₁，y₁）﹑D（x₂，y₂），将
y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1
整理得（1+3k²）x²+12kx+9=0
∵直线y=kx+2（ k≠0）与椭圆交于C、D两点，|
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0  ①
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
∴丨CD丨=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{9}{1+3{k}^{2}}]}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
整理得7k⁴-12k²-27=0，即（7k²+9）（k²-3）=0，
解得  k2=-$\frac{9}{7}$（舍去）或k²=3，即k=$±\sqrt{3}$，
经验证，k=±$\sqrt{3}$使①成立，故k=$±\sqrt{3}$为所求．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．