题目内容
已知f（x）=x2-px+q，其中p＞0，q＞0．
（1）当p＞q时，证明
＜
；
（2）若f（x）=0在区间，（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围．
（1）当p＞q时，证明
| f(q) |
| p |
| f(p) |
| q |
（2）若f（x）=0在区间，（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）当p＞q时，分别化简
、
，再把它们作差判断符号，即可证得结论．
（2）由题意可得
，求得
，画出点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域，由线性规划知识求得p+q的范围．
| f(q) |
| p |
| f(p) |
| q |
（2）由题意可得
|
|
解答：
证明：（1）
=
=
-q，
=
=1，
∴
-
=
-q-1=
，
∵p＞q＞0，
∴
＜0，
即
-
＜0，
∴
＜
； （4分）
解：（2）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，
∴
⇒
⇒
∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，
设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．
| f(q) |
| p |
| q2-pq+q |
| p |
| q2+q |
| p |
| f(p) |
| q |
| p2-p2+q |
| q |
∴
| f(q) |
| p |
| f(p) |
| q |
| q2+q |
| p |
| (q+1)(q-p) |
| p |
∵p＞q＞0，
∴
| (q+1)(q-p) |
| p |
即
| f(q) |
| p |
| f(p) |
| q |
∴
| f(q) |
| p |
| f(p) |
| q |
解：（2）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，
∴
|
|
|
∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，
设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等产数列的定义和性质，体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．
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| A、f（x1）＞f（x2） |
| B、f（x1）=f（x2） |
| C、f（x1）＜f（x2） |
| D、f（|x2|）＞f（x1） |
