Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．求证：
（1）面C₁BD∥面AB₁D₁；
（2 ）A₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）由已知得CC₁⊥B₁D₁，A₁C⊥B₁D₁，A₁C⊥AB₁，由此能证明A₁C⊥面AB₁D₁．

解答： 证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，
又AB₁∩AD₁=A，AB₁∥DC₁，
AD₁?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C即A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，
又D₁B₁∩AB₁=B₁，∴A₁C⊥面AB₁D₁．

点评：本题考查直线直线垂直的证明，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．