Question

已知函数f（x）=tan（2x+

π

4

）．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（0，

π

4

），若f（

α

2

）=2cos 2α，求α的大小．

Answer 1

考点：二倍角的正切,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用正切函数的性质，由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，可求得f（x）的定义域，由其周期公式可求最小正周期；
（2）利用三角函数间的关系式，可得sin2α=

1

2

，再由α∈（0，

π

4

），知2α∈（0，

π

2

），从而可求得α的大小．

解答： 解：（1）由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，得：x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Z}，f（x）的最小正周期为

π

2

；
（2）由f（

α

2

）=2cos2α，得tan（α+

π

4

）=2cos2α，

sin(α+ π 4 )

cos(α+ π 4 )

=2（cos²α-sin²α），
整理得：

sinα+cosα

cosα-sinα

=2（cosα+sinα）（cosα-sinα），
因为α∈（0，

π

4

），所以cosα+sinα≠0，
因此（cosα-sinα）²=

1

2

，即sin2α=

1

2

．
由α∈（0，

π

4

），知2α∈（0，

π

2

），
所以2α=

π

6

，α=

π

12

．

点评：本题考查正切函数的定义域与周期，考查二倍角的余弦与两角和与差的正切，考查运算求解能力，属于中档题．