Question

已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,组合几何体的面积、体积问题,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）连结EO与FO，通过证明EO⊥平面FBD，然后证明平面EBD⊥平面FBD；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，设平面AED的法向量为：

n

=(x，y，z)，通过

n • AE =0 n • AD =0

，利用法向量直接求出直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积，转化为两个四棱锥的体积减去两个三棱锥的体积．

解答：

(2)  4 5 (3)  16 15

解：（1）证明：连结EO与FO，∵四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，∴AO=2，OC=2，OD=0B=1，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．tan∠EOA=tan∠OFC，∴∠EOA+∠FOC=90°∴EO⊥OF．
△EAB≌△EAD，∴EA=ED，△BED是等腰三角形．∴EO⊥BD，∵BD∩OF=O，∴EO⊥平面FBD，EO?平面BDE，∴平面EBD⊥平面FBD．
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则A（0，-2，0），B（1，0，0），E（0，-2，1），D（-1，0，0），

AE

=(0，0，1)，

AD

=(-1，2，0)．
设平面AED的法向量为：

n

=(x，y，z)，则

n • AE =0 n • AD =0

，即

z=0 -x+2y=0

，

n

=(2，1，0)，

AB

=(1，2，0)．
∴直线AB与平面EAD所成角的正弦值为：sinθ=|

n • AB

| n || AB |

|=

4

5 × 5

=

4

5

．
（3）四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积
V=V_E-ABCD+V_F-ABCD-V_E-ABD-V_F-BCD
=

1

3

×

1

2

×4×2×1+

1

3

×

1

2

×4×2×4-

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×4-

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×2×4
=

10

3

．

点评：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．