Question

设P（x，y）是角θ的终边上任意一点，其中x≠0，y≠0，并记r=

x2+y2

．若定义cotθ=

x

y

，secθ=

r

x

，cscθ=

r

y

．
（Ⅰ）求证sin²θ+cos²θ-tan²θ-cot²θ+sec²θ+csc²θ是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）求函数f（θ）=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|的最小值．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）直接利用三角函数基本关系式，以及三角函数的定义化简表达式sin²θ+cos²θ-tan²θ-cot²θ+sec²θ+csc²θ，求解即可；
（Ⅱ）利用已知条件化简函数f（θ）=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|题干基本不等式求出函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）sin²θ+cos²θ-tan²θ-cot²θ+sec²θ+csc²θ
=1-(

y

x

)2-(

x

y

)2+(

r

x

)2+(

r

y

)2
=1+1+1=3…（4分）
（Ⅱ）由条件，cotθ=

x

y

=tanθ，secθ=

1

cosx

，cscθ=

1

sinθ

令g（θ）=sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ=sinθ+cosθ+

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

+

1

cosθ

+

1

sinθ

=sinθ+cosθ+

1

sinθcosθ

+

sinθ+cosθ

sinθcosθ

…（6分）
令sinθ+cosθ=t，则t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，t≠±1，且sinθcosθ=

t2-1

2

，
从而g(θ)=y=t+

2

t2-1

+

2t

t2-1

=t+

2(t+1)

t2-1

=t+

2

t-1

=t-1+

2

t-1

+1，…（9分）
令u=t-1，则y=u+

2

u

+1，u∈[-

2

-1，

2

-1]，且t≠0，t≠-2．
∴y∈(-∞，1-2

2

]∪[3

2

+2，+∞)．
从而f(θ)=|y|≥2

2

-1，即f(θ)min=2

2

-1．          …（12分）

点评：本题考查任意角的三角函数的定义以及应用，基本知识的考查．