Question

函数f（x）定义在区间（0，+∞），y∈R，都有f（x^y）=yf（x），且f（x）不恒为零．
（1）求f（1）的值；
（2）若a＞b＞c＞1且b²=ac，求证：f（a）f（c）＜[f（b）]²；
（3）若f（

1

2

）＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（1）的值；
（2）根据不等式的性质即可证明不等式f（a）f（c）＜[f（b）]²；
（3）由条件f（

1

2

）＜0，根据单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答： （1）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0，
（2）设x^y=ac，则y=log?_xac，
∴f（ac）=f（x^y）=yf（x）=（log?_xac）f（x）=（log?_xa+log?_xc）f（x）=（log?_xa）f（x）+（log?_xc）f（x）=f(xlog?xa)+f(xlog?xc)=f(a)+f(c)，
∵b²=ac，
∴f（b²）=f（ac），
即2f（b）=f（a）+f（c），
f（b）=

f(a)+f(c)

2

，
∴[f(b)]2-f(a)f(c)=[

f(a)+f(c)

2

]2-f(a)f(c)=[

f(a)-f(c)

2

]2≥0．
下面证明当x≠1时，f（x）≠0．
假设存在x≠1，f（x₀）=0，则对于任意x≠1，
f(x)=f[x0logx0x]=(log?x0x)f(x0)=0，不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0．
因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，
f（a）-f（c）=f(mlog?ma)-f(mlog?mc)=(log?ma-log?mc)f(m)≠0，
所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f²（b）．
（3）设x₀∈（0，1），则f(x0)=f[(

1

2

)log?

1

2

x0]=(log?

1

2

x0)f(

1

2

)＜0，
设x₁，x₂为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x₁＜x₂，则0＜

x1

x2

＜1，
由（2）的证明知，
f（x₁）-f（x₂）=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查抽象函数应用以及函数单调性的应用，综合考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．