Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）若D为B₁C₁的中点，求AD与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）根据AA₁⊥平面A₁B₁C₁证出AA₁⊥A₁C₁，结合A₁C₁⊥A₁B₁得到A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而证出AB₁⊥A₁C₁．然后在正方形AA₁B₁B中证出AB₁⊥A₁B，可得出AB₁⊥平面A₁BC₁；
（II）连结AD，由AA₁⊥平面A₁B₁C₁可得∠A₁DA是AD与平面A₁B₁C₁所成角．然后在Rt△A₁DA中利用解直角三角形加以计算，可得AD与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

解答： 解：（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁，
又∵∠B₁A₁C₁=90°，即A₁C₁⊥A₁B₁，A₁B₁、AA₁是平面AA₁B₁B内的相交直线，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，可得AB₁⊥A₁C₁
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，
∴四边形AA₁B₁B是正方形，可得AB₁⊥A₁B，
又∵A₁B、A₁C₁是平面A₁BC₁内的相交直线，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁；
（II）连结AD，设AB=AC=AA₁=1，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴∠A₁DA是AD与平面A₁B₁C₁所成角
∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，D为斜边的中点，∴A₁D=

1

2

B₁C₁=

2

2

，
又∵Rt△A₁DA中，AD=

A1D2+A1A 2

=

6

2

，
∴sin∠A₁DA=

A1D

AD

=

3

3

，即AD与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值等于

3

3

．

点评：本题在特殊的三棱柱中求证线面垂直，并求直线与平面所成角的大小．着重考查了直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．