Question

如图在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段AB₁和BD上的点，且AM=BN=t（0＜t＜

2

）
（1）求|MN|的最小值
（2）当|MN|达到最小值时，

MN

与

AB

₁，

BD

是否都垂直，如果都垂直给出证明；如果不是都垂直说明理由．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作ME⊥AB于E，连EN．在△EBN中，由余弦定理可得EN，在△MEN中，由勾股定理可得MN，从而可求|MN|的最小值
（2）建立空间直角坐标系，求出

MN

=（

1

3

，

2

3

，-

1

3

），

AB1

=（1，0，1），

BD

=（-1，1，0），利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）作ME⊥AB于E，连EN．
∵AM=BN=t，
∴ME=AE=

2

2

t，BE=1-

2

2

t，
∴在△EBN中，由余弦定理可得：EN2=t2+(1-

2

2

t)2-2t(1-

2

2

t)•

2

2

=

5

2

t2-2

2

t+1，
∴在△MEN中，由勾股定理可得MN2=3t2-2

2

t+1．
∴当t=

2

3

时，|

MN

|最小值为

1

3

；
（2）建立如图所示的坐标系，由（1）知当|MN|达到最小值时，t=

2

3

，则
A（0，0，0），B₁（1，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），M（

1

3

，0，

1

3

），N（

2

3

，

2

3

，0），
∴

MN

=（

1

3

，

2

3

，-

1

3

），

AB1

=（1，0，1），

BD

=（-1，1，0），
∴

MN

•

AB1

=0，

MN

•

BD

=

1

3

，
∴

MN

⊥

AB1

，

MN

与

BD

不垂直．

点评：本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，正确表示向量是关键．