Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C，一条渐近线方程为x-2y=0，且双曲线经过点A（2

2

，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的两个焦点分别为F₁，F₂，过点P（0，t）作双曲线C切线，切点为M，若△F₁MF₂的面积为

5

2

，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，可设双曲线C的方程x²-4y²=λ，代入点A（2

2

，1），可得双曲线C的方程；
（2）利用△F₁MF₂的面积为

5

2

，求出M的坐标，求导数，得到切线的向量，即可求实数t的值．

解答： 解：（1）∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，
∴可设双曲线C的方程x²-4y²=λ，
∵双曲线经过点A（2

2

，1），
∴8-4=λ，
∴λ=4，
∴双曲线C的方程为

x2

4

-y2=1；
（2）双曲线C的两个焦点分别为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），∴|F₁F₂|=2

5

．
设M（x，y），则∵△F₁MF₂的面积为

5

2

，
∴

1

2

•2

5

•|y|=

5

2

，
∴|y|=

1

2

，
∴|x|=

5

，
取点M（

5

，

1

2

），则PM的方程为y=

1 2 -t

5

x+t，
由

x2

4

-y2=1，可得y=

x2 4 -1

，∴y′=

x

4 x2 4 -1

，
x=

5

时，y′=

5

2

，
∴

1 2 -t

5

=

5

2

，
∴t=-2，
同理，根据对称性，可得t=2．

点评：本题考查双曲线的方程与几何性质，考查三角形面积的计算，考查双曲线的切线，考查学生的计算能力，属于中档题．