Question

4．已知二次函数f（x）=x²-16x+q
（1）若当x∈[-1，1]时，方程f（x）=-3有解，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-54？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）问题转化为函数g（x）=f（x）+3在区间[-1，1]上存在零点，根据函数零点的存在定理得到关于q的不等式组，解出即可；
（2）通过讨论q的范围结合二次函数的单调性得到关于q的方程，解出q的值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-16x+q在区间[-1，1]上满足f（x）=-3，
∴函数g（x）=f（x）+3在区间[-1，1]上存在零点可得，$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{20+q≥0}\\{-12+q≤0}\end{array}\right.$，∴-20≤q≤12，
即q∈[-20，12]；
（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-54，
∵f（x）=x²-16x+q=（x-8）²+q-64，x∈[q，10]
∴当0＜q＜8时，f（x）_min=q-64=-54，∴q=10∉（0，8）；
当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，f（x）_min=q²-15q=-54，解得q=6（舍去）或q=9
故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-54．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察零点的判定定理，考察分类讨论思想，是一道中档题．