Question

12．已知直线过定点P（2，1）．
（1）求经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）若过点P的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线的方程，代入P点，求出即可；
（2）由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面积S≥4，可得此时直线的方程．

解答 解：（1）∵直线过定点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等，
设直线方程为：x+y=a，将P（2，1）代入得：a=3，
故直线方程是：x+y-3=0；
（2）由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），
∵直线过P（2，1），∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2 $\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}{b}}$，∴ab≥8，
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{b}$即a=4且b=2时取等号，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
∴△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
化为一般式方程可得x+2y-4=0．

点评 本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．