Question

16．已知$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的点P构成，其面积为8，则4a+b的最小值为（　　）

• A． 13
• B． 12
• C． $7\sqrt{2}$
• D． $6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，上平面区域D的面积S=2（a-1）×2（b-1）×sin∠BAC=2[ab-（a+b）+1]=8，得到ab-（a+b）=3，由此能求出4a+b的最小值．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=2，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
设P（x，y），
∵平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的点P构成，
∴平面区域D的面积S=2（a-1）×2（b-1）×sin∠BAC=2[ab-（a+b）+1]=8，
∴ab-（a+b）=3，
∴$\frac{（a+b）^{2}}{4}-（a+b）-3≥0$，解得a+b≥6或a+b≤-2（舍），
∴ab=3+（a+b）≥9，∴4ab≥36，
4a+b$≥2\sqrt{4ab}$=12．
故4a+b的最小值为12．
故选：B．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量性质的合理运用．