Question

13．已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1．
（1）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的值域；
（2）x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，利用正弦函数的性质即可求解．

解答 解：f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
（1）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\sqrt{2}]$
（2）由$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）
∴在[0，π]单调递增区间为$[0，\frac{π}{8}]，和[\frac{5π}{8}，π]$．

点评 本题考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．