Question

设函数f（x）=|x-a|+3x，（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＞3x+1的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）f（x）＞3x+1?|x-a|+3x＞3x+1?|x-a|＞1，利用绝对值不等式的几何意义即可求得原不等式的解集；
（2）不等式|x-a|+3x≤0等价于3x≤x-a≤-3x，转化为不等式组即

3x≤x-a x-a≤-3x

，通过对参数a＜0与a≥0的讨论，利用不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，即可求得a的值．

解答： 解（1）由f（x）＞3x+1化简可得|x-a|＞1，即x-a＞1或x-a＜-1，
解得：x＞a+1或x＜a-1------（2分）
∴不等式f（x）＞3x+1的解集为{x|x＞a+1或x＜a-1}------（4分）
（2）不等式|x-a|+3x≤0等价于3x≤x-a≤-3x，即

3x≤x-a x-a≤-3x

即

x≤- a 2 x≤ a 4

----（6分）
若a＜0则原不等式的解集是{x|x≤

a

4

}={x|x≤-1}，此时a=-4
若a≥0则原不等式的解集是{x|x≤-

a

2

}={x|x≤-1}，此时a=2
综上：a=2或a=-4------（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．