题目内容
如图，在△ABC中，点D在边BC上，且| DC |
| BD |
（1）用向量
| AB |
| AC |
| AD |
（2）若|
| AB |
| AD |
| AC |
考点：向量加减混合运算及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量的三角形法则可得
=
-
，
=
-
，又
=2
，即可得出；
（2）由于|
|：|
|：|
|=3：k：1，不妨取|
|=3，|
|=k，|
|=1，设∠BAC=θ．由（1）可得：k2=|
|2=
2+
2+
•
=
，再利用-1＜cosθ＜1即可得出．
| BD |
| AD |
| AB |
| DC |
| AC |
| AD |
| DC |
| BD |
（2）由于|
| AB |
| AD |
| AC |
| AB |
| AD |
| AC |
| AD |
| 1 |
| 9 |
| AC |
| 4 |
| 9 |
| AB |
| 4 |
| 9 |
| AC |
| AB |
| 37+12cosθ |
| 9 |
解答：
解：（1）∵
=
-
，
=
-
，
=2
，
∴
-
=2(
-
)，化为
=
+
．
（2）∵|
|：|
|：|
|=3：k：1，∴不妨取|
|=3，|
|=k，|
|=1，
设∠BAC=θ．
由（1）可得：k2=|
|2=
2+
2+
•
=
+
×32+
×1×3cosθ=
，
由于-1＜cosθ＜1，
∴
＜
＜
，
∴
＜k＜
．
∴实数k的取值范围是(
，
)．
| BD |
| AD |
| AB |
| DC |
| AC |
| AD |
| DC |
| BD |
∴
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
| AD |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
（2）∵|
| AB |
| AD |
| AC |
| AB |
| AD |
| AC |
设∠BAC=θ．
由（1）可得：k2=|
| AD |
| 1 |
| 9 |
| AC |
| 4 |
| 9 |
| AB |
| 4 |
| 9 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 37+12cosθ |
| 9 |
由于-1＜cosθ＜1，
∴
| 25 |
| 9 |
| 37+12cosθ |
| 9 |
| 49 |
| 9 |
∴
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
∴实数k的取值范围是(
| 5 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
点评：本题考查了向量的三角形法则、数乘运算、数量积的性质、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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