题目内容

设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
3
a=2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值．
（Ⅱ）由条件利用两角和差的正弦公式求得sinA+sinC=
3
sin（A+
π
6
）．再根据
π
6
＜A＜
π
2
，利用正弦函数的定义域和值域求得sinA+sinC的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）锐角三角形ABC中，∵
3
a=2bsinA，
∴由正弦定理可得
3
sinA=2sinBsinA，∴sinB=
3
2
，∴B=
π
3
．
（Ⅱ）sinA+sinC=sinA+sin（
2π
3
-A）=sinA+
3
2
cosA-（-
1
2
）sinA
=
3
（
1
2
cosA+
3
2
sinA）=
3
sin（A+
π
6
）．
再根据
π
6
＜A＜
π
2
，可得
π
3
＜A+
π
6
＜
2π
3
，∴
3
2
＜sin（A+
π
6
）≤1，
3
2
＜
3
sin（A+
π
6
）≤
3
，
即sinA+sinC的取值范围为（
3
2
，
3
]．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的正弦公式、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）
A、y=
x
B、y=xsinx
C、y=lg
1-x
1+x
D、y=ex-e-x
若A，B，C为△ABC的三个内角，则
4
A
+
1
B+C
的最小值为
 
．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足（c-2a）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，cosA=
1
7
，求c的值．
已知函数f（x）=cosxcos（x-θ）-
1
2
cosθ（0＜θ＜π），且当x=
π
3
时f（x）取得最大值．
（1）求θ的值；
（2）当x∈[
π
6
，a]时f（x）的值域为[
1
4
，
1
2
]，求实数a的取值范围．
甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是
3
4
，
3
5
，m，且三人能否达标互不影响．
（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是
24
25
，求m的值；
（Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．
已知a∈R，函数f（x）=-x2+2|x-a|．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若a=
1
2
，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）的最大值．
△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足sinBsinC-cosBcosC-
3
2
=0．
（1）求角A的大小；
（2）现给出下列三个条件：
①a=1；②2c-（
3
+1）b=0；③B=45°．
试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．
直线y=
3
3
x+1与椭圆
x2
3
+
y2
2
=1相交于A，B两点．则|AB|=
 
．

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