Question

已知函数f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ（0＜θ＜π），且当x=

π

3

时f（x）取得最大值．
（1）求θ的值；
（2）当x∈[

π

6

，a]时f（x）的值域为[

1

4

，

1

2

]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式可得f（x）=

1

2

cos（2x-θ），由最值可得2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z，结合θ范围可得；
（2）由题意结合三角函数的值域可得2a-

2π

3

∈[0，

π

3

]，变形可得a的范围．

解答： 解（1）由题意可得f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

cosθ+

1

2

sin2xsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）
又∵当x=

π

3

时f（x）取得最大值，
∴2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z
又∵0＜θ＜π，∴θ=

2π

3

；
（2）∵x∈[

π

6

，a]，∴2x-

2π

3

∈[-

π

3

，2a-

2π

3

]，
又∵f（x）的值域为[

1

4

，

1

2

]，
∴2a-

2π

3

∈[0，

π

3

]，∴a∈[

π

3

，

π

2

]

点评：本题考查三角函数公式，涉及三角函数的值域，属基础题．