Question

已知a∈R，函数f（x）=-x²+2|x-a|．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若a=

1

2

，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）直接利用偶函数的定义，推出关系式然后求a的值；
（2）通过a=

1

2

，去掉绝对值得到分段函数，利用二次函数的开口方向，直接求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）化简函数为二次函数的顶点式形式，通过a的范围，分别求出函数的最大值．

解答： （本小题满分15分）
解：（1）任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，即
-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立．
∴|x+a|=|x-a|恒成立，两边平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
∴a=0                               …（4分）
（2）若a=

1

2

，则f（x）=-x²+2|x-

1

2

|=

-x2-2x+1，x＜ 1 2 -x2+2x-1，x≥ 1 2

．
由函数的图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1]，[

1

2

，1]，…（8分）
（3）f（x）=-x²+2|x-a|=

-x2+2x-2a，x≥a -x2-2x+2a，x＜a

． …（10分）
即f（x）=

-(x-1)2+1-2a，x≥a -(x+1)2+1+2a，x＜a

⒈当a≤-1时，f（x）在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减．∴f（x）_max=f（1）=1-2a．
⒉当-1＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1），（a，1）上递增，在（-1，a），（1，+∞）上递减．
∴f（x）_max=max{f（-1），f（1）}={1+2a，1-2a}，
（ⅰ）当-1＜a≤0时，1+2a≤1-2a，∴f（x）_max=1-2a．
（ii）当0＜a＜1时，1+2a＞1-2a，∴f（x）_max=1+2a．
⒊当a≥1时，f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，+∞）上递减．
∴f（x）_max=f（-1）=1+2a．
综上所述，f（x）_max=

1-2a，a≤0 1+2a，a＞0

                          …（15分）

点评：本题考查函数的奇偶性的判断函数的单调区间的求法，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．