Question

下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）

• A、y=

  x

• B、y=xsinx
• C、y=lg

  1-x

  1+x

• D、y=e^x-e^-x

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案．

解答： 解：A中，∵y=

x

的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，∴y=

x

为非奇非偶函数，故排除A；
B中，∵-xsin（-x）=xsinx，∴y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除B；
C中，y=lg

1-x

1+x

=lg（-1+

2

1+x

），
∵lgt递增，t=-1+

2

1+x

在（0，1）上递减，∴y=lg

1-x

1+x

在（0，1）上递减，故排除C；
D中，∵e^-x-e^-（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x），∴y=e^x-e^-x是奇函数，
又y=e^x递增，y=-e^-x递增，∴y=e^x-e^-x是（0，1）内的增函数；
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．