Question

若A，B，C为△ABC的三个内角，则

4

A

+

1

B+C

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由三角形的内角和定理：A+B+C=π，变形为

A+B+C

π

=1，再将

4

A

+

1

B+C

变形为

4

A

+

1

B+C

=（

4

A

+

1

B+C

）•

A+B+C

π

，展开并运用基本不等式即可求出最值，注意等号成立的条件．

解答： 解：∵A+B+C=π，
∴

A+B+C

π

=1，
∴

4

A

+

1

B+C

=（

4

A

+

1

B+C

）•

A+B+C

π

=

1

π

[4+1+

A

B+C

+

4(B+C)

A

]
≥

1

π

（5+2

4

）=

9

π

．
当且仅当A=2（B+C）即A=

2π

3

，取最小值为

9

π

．
故答案为：

9

π

．

点评：本题主要考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查三角形的内角和定理，属于中档题．