Question

定义：如果函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得在区间[a，b]上，f（x）的取值范围恰为区间[a，b]，那么称函数f（x）是D上的“正函数”．若函数g（x）=

1

m

-

1

x

（m＞0）是（0，+∞）上的“正函数”，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由于g（x）是（0，+∞）上的增函数，可得

1

m

-

1

x

=x在（0，+∞）上有两个不相等的根，将其转化为一元二次方程，利用判别式建立参数的不等式解不等式即可得出所求的范围

解答： 解：由于函数g（x）=

1

m

-

1

x

（m＞0）是（0，+∞）上的增函数
根据正函数的定义可得

1

m

-

1

x

=x在（0，+∞）上有两个不相等的根
即x²-

1

m

x+1=0在（0，+∞）上有两个不相等的根
∴△=

1

m2

-4＞0，解得0＜m＜

1

2

故答案为（0，

1

2

）

点评：本题考查新定义及函数单调性的性质，正确理解新定义进行准确转化是解答的关键