Question

在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2

2

x（x≥0），点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4．
（1）求sin(α+

π

6

)的值；
（2）求△POQ面积最大值及点P，Q的坐标；
（3）求△POQ周长的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,基本不等式,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）可以利用射线方程求出，三角函数值，利用两角和的正弦函数求解sin(α+

π

6

)的值即可；
（2）设出PQ坐标，利用PQ²=（a-b）²+8b²=16，通过基本不等式求出ab的最大值，即可求△POQ面积最大值及点P，Q的坐标；
（3）设OP=x，OQ=y，利用三角形两边之和大于第三边推出x+y+4＞8，利用余弦定理，得到16=x2+y2-

2

3

xy，通过基本不等式求出x+y≤4

3

，即可求△POQ周长的取值范围．

解答： 解：（1）由射线l的方程为y=2

2

x，∴tan=2

2

，
可得sinα=

2 2

3

，cosα=

1

3

，…（2分）
故sin(α+

π

6

)=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

1+2 6

6

．…（4分）
（2）设P(a，0)，Q(b，2

2

b)(a＞0，b＞0)．
在△POQ中因为PQ²=（a-b）²+8b²=16，
即16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，所以ab≤4∴S△POQ=

2

ab≤4

2

．当且仅当a=3b，即a=2

3

，b=

2 3

3

取得等号．
所以△POQ面积最大时，点P，Q的坐标分别为P(2

3

，0)，Q(

2 3

3

，

4 6

3

)．
（3）设OP=x，OQ=y，由三角形两边之和大于第三边，可得x+y+4＞8，
由余弦定理可得：PQ²=OQ²+OP²-2OP•OQcosα，
可得16=x2+y2-

2

3

xy=(x+y)2-

8

3

xy≥

1

3

(x+y)2，当且仅当x=y时等号成立．
（x+y）²≤48，x+y≤4

3

，x+y+4≤4

3

+4，
所以△POQ周长的范围是(8，4

3

+4]．

点评：本题考查解析法求解三角形的问题，余弦定理的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．