Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-ex+a

ex+1

是奇函数．
（1）求a的值，并判断f（x）在R上的单调性（不需证明）；
（2）若对任意的t∈[-1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的定义得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值，结合指数函数的单调性，可判断f（x）在R上的单调性；
（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t²-2t）＜f（-2t²+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t²-2t-k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．

解答： 解：（1）∵定义域为R的奇函数图象必过原点，
故f（0）=

-1+a

1+1

=0，
解得：a=1，
此时f（x）=

-ex+1

ex+1

在R上为减函数，
（2）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）为奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）
由（1）得，f（x）在定义域内为单调递减函数，
∴t²-2t＞-2t²+k，即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
故k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

点评：本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，但难度不大，属于中档题．