Question

已知不等式x²-（m+1）x+t＜0的解集为{x|1＜x＜2，x∈R}，
（1）求m，t的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，在区间（1，+∞）上递减，求关于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用二次不等式的解集，列出关系式即可求m，t的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，在区间（1，+∞）上递减，求出对称轴，得到a的值，然后化简不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0，求解即可．

解答： 解：（1）由题意知：方程x²-（m+1）x+t=0的两根分别为1、2，（2分）
由韦达定理得

1+2=m+1 1×2=t

；解得

m=2 t=2

                          （4分）
（2）因为函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，在区间（1，+∞）上递减
所以   -

a

2×(-1)

=1，⇒a=2                           （5分）
所以不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0可化为：log₂₂（-2x²+3x）＜0，
∴0＜-2x²+3x＜1                        （7分）
解得

x＞1或x＜ 1 2 0＜x＜ 3 2

                                        （8分）
∴0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

                                 （9分）
所以，原不等式的解集为：{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}             （10分）

点评：本题考查指数对数不等式的解法与应用，考查计算能力．