Question

16．已知函数f（x）=x³+ax．
（Ⅰ）当x=1时，f（x）=x³+ax有极小值，求a的值；
（Ⅱ）若过点P（1，1）只有一条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点A（0，3），B（2，0），C（-2，-2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切．（只需写出结论）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=3x²+a．通过f′（1）=0，解得a，然后验证当x=1时，f（x）有极小值，推出a=-3．
（Ⅱ）设过点P（1，1）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x₀，y₀），则${y_0}={x_0}^3+a{x_0}$，求出切线斜率，写出切线方程，代入P的坐标，推出$2{x_0}^3-3{x_0}^2+1-a=0$，设g（x）=2x³-3x²+1-a，利用“过点P（1，1）只有一条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“g（x）只有一个零点”．通过函数导数求解函数的极值，然后求解即可．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，直接判断过点A（0，3），B（2，0），C（-2，-2）分别存在直线与曲线y=f（x）相切的条数．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax得f′（x）=3x²+a．…（1分）
根据题意f′（1）=0，解得a=-3．…（2分）
此时f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或x=1．
当时-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
符合当x=1时，f（x）有极小值，因此a=-3．…（4分）
（Ⅱ）设过点P（1，1）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x₀，y₀），
则${y_0}={x_0}^3+a{x_0}$，且切线斜率为${f^'}（{x_0}）=3{x_0}^2+a$，
所以切线方程为$y-{y_0}=（3{x_0}^2+a）（x-{x_0}）$．
因此$1-（{x_0}^3+a{x_0}）=（3{x_0}^2+a）（1-{x_0}）$，
整理得$2{x_0}^3-3{x_0}^2+1-a=0$．…（6分）
设g（x）=2x³-3x²+1-a，
则“过点P（1，1）只有一条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“g（x）只有一个零点”．g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
当x变化时，g（x）与g′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1-a	↘	-a	↗

所以，g（0）=1-a是g（x）的极大值，g（1）=-a是g（x）的极小值．…（8分）
当g（x）只有一个零点时，有g（0）=1-a＜0或g（1）=-a＞0，解得a＞1或a＜0．
因此当过点P（1，1）只有一条直线与曲线y=f（x）相切时，a的取值范围是a＞1或a＜0．…（10分）
（Ⅲ）过点A（0，3）存在1条直线与曲线y=f（x）相切；
过点B（2，0）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（-2，-2）存在2条直线与曲线y=f（x）相切．…（13分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的极值单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，构造法的应用．