Question

5．已知直线l：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$（k∈R）与双曲线C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的右支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，由题意可得已知直线的斜率大于渐近线斜率，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{12-{a}^{2}}}{2}$x，
直线l：y=$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$（k∈R）与双曲线C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{{12-{a^2}}}$=1的右支有两个不同的交点，
可得$\sqrt{3}$＞$\frac{\sqrt{12-{a}^{2}}}{2}$，解得-2$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{16-{a}^{2}}}{2}$＜$\frac{4}{2}$=2，
由e＞1可得e的范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评 本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．