Question

7．给出如下命题，其中真命题的序号是①③
①“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件
②“x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“（x²+2x）_min≥ax_max在x∈[1，2]上恒成立”
③设x＞0，则“a≥1”是“z+$\frac{a}{x}$≥2恒成立”的充要条件
④“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充要条件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0”

Answer 1

分析 ①利用充分、必要条件的概念与二倍角的余弦及余弦函数的周期性可判断①的正误；
②利用函数恒成立问题可判断②的正误；
③利用基本不等式可得结论；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充要条件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0且平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不反向”．

解答 解：①函数f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期为π，则 $\frac{2π}{2|a|}$=π，|a|=1，
解得：a=±1，故充分性不成立；反之，若a=1，则f（x）=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期为π，必要性成立；
故函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件，即①正确；
②∵不等式x²+2x≥ax的右端含有参数a，
∴x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立不等价于（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，即②错误．
③设x＞0，利用基本不等式可得“a≥1”是“x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立”的充要条件，正确；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充要条件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0且平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不反向”，不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量知识、充分、必要条件的概念及三角函数的性质与函数恒成立问题，属于中档题．