Question

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₁₀₁₃=S₂₀₁₃=2013则$\frac{S_1}{a_1}$，$\frac{S_2}{a_2}$，$\frac{S_3}{a_3}$，…，$\frac{{{S_{15}}}}{{{a_{15}}}}$中最大的项为（　　）

• A． $\frac{S_6}{a_6}$
• B． $\frac{S_7}{a_7}$
• C． $\frac{S_8}{a_8}$
• D． $\frac{S_9}{a_9}$

Answer 1

分析 由等差数列的前n项和性质求出a₈＞0，a₉＜0，由此能求出$\frac{S_1}{a_1}，\frac{S_2}{a_2}，\frac{S_3}{a_3}，…，\frac{{{S_{15}}}}{{{a_{15}}}}$中最大的项．

解答 解：∵数列{a_n}为等差数列，且S₁₅＞0，S₁₆＜0，
∴a₈＞0，a₈+a₉＜0，即a₉＜0，
则$\frac{S_1}{a_1}，\frac{S_2}{a_2}，\frac{S_3}{a_3}，…，\frac{{{S_{15}}}}{{{a_{15}}}}$的前8项为正，第9到15项为负，
且前8项中，分子不断变大，分母不断减小，
$\frac{S_1}{a_1}，\frac{S_2}{a_2}，\frac{S_3}{a_3}，…，\frac{{{S_{15}}}}{{{a_{15}}}}$中最大的项为$\frac{S_8}{a_8}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的前n和与第n项的比值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．