Question

6．设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=$\frac{x-1}{2x}$．
（1）当m=1时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设F（x）=f（x）-2g（x），若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值为-1，求实数m的值；
（3）当m=$\frac{3}{16}$时，若不等式f（x）+t≤kx+b≤g（x）对?x∈[2，4]恒成立，试给出实数t的一个值，使满足条件的实数k，b唯一，并直接写出k，b的值（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）利用导数和函数的最值的关系，分类讨论即可求出m的值；
（3）分别根据导数和函数的最值，求出在[1，2]上的f（x）_max，g（x）_min，得到$\frac{ln8}{8}$+t≤kx+b≤$\frac{1}{4}$，即可求出实数t的一个值，使满足条件的实数k，b唯一．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=lnx，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=0，
∴y=f（x）在x=1处的切线方程y=x-1，
（2）F（x）=f（x）-2g（x）=mlnx-$\frac{x-1}{x}$=mlnx-1+$\frac{1}{x}$
∴F′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{mx-1}{{x}^{2}}$，
当m≤0时，F′（x）＜0恒成立，
∴F（x）在[1，e]单调递减，
∴F（x）_min=F（e）=m-1+$\frac{1}{e}$=-1，
解得m=$\frac{1}{e}$（舍去），
当m＞0时，F′（x）=0，解得x=$\frac{1}{m}$，
当F′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{m}$时，函数单调递增，
当F′（x）＜0时，即0＜x＜$\frac{1}{m}$时，函数单调递减，
若$\frac{1}{m}$≤1时，即m≥1时，函数F（x）在[1，e]上单调递增，
∴F（x）_min=F（1）=-1+1=0≠-1，
若$\frac{1}{m}$≥e，即0＜m≤$\frac{1}{e}$时，F（x）在[1，e]单调递减，
∴F（x）_min=F（e）=m-1+$\frac{1}{e}$=-1，
解得m=-$\frac{1}{e}$，
若1＜$\frac{1}{m}$＜e时，即$\frac{1}{e}$＜m＜1时，F（x）在[1，$\frac{1}{m}$]单调递减，在[$\frac{1}{m}$，e]上单调递增，
∴F（x）_min=F（$\frac{1}{m}$）=mln$\frac{1}{m}$-1+m=-1，
解得m=e（舍去），
综上所述m=-$\frac{1}{e}$；
（3）当m=$\frac{3}{16}$时，f（x）=$\frac{3}{16}$lnx，
∴f（x）=$\frac{3}{16}$lnx，在[2，4]单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=$\frac{3}{16}$ln4=$\frac{3}{8}$ln2=$\frac{ln8}{8}$
∴[f（x）+t]_max=$\frac{ln8}{8}$+t，
∵g（x）=$\frac{x-1}{2x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在[2，4]单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=$\frac{1}{4}$，
∵f（x）+t≤kx+b≤g（x）对?x∈[2，4]恒成立，
∴$\frac{ln8}{8}$+t≤kx+b≤$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{ln8}{8}$+t≤$\frac{1}{4}$，
即t=-$\frac{1}{4}$-$\frac{ln8}{8}$，
则kx+b=$\frac{1}{4}$在[2，4]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-\frac{1}{4}}\\{4k+b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{12}$，b=-$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系以及和最值的关系，以及参数的取值范围，考查了分析问题，解决问题的能力，属于难题．