题目内容
已知E、F是x轴上的点，坐标原点O为线段EF的中点，G、P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，|| FG |
| EF |
| PE |
| 1 |
| 2 |
| EG |
| EG |
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）A、B为轨迹C上任意两点，且
| OE |
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）取EG的中点为H，由已知条件推导出PH是线段EG的垂直平分线，|PE|+|PF|=|GF|=10，从而得到P点的轨迹为椭圆，由此能求出P的轨迹C的方程．
（2）由已知条件推导出A、B、E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，联立
，整理得（16m2+25）y2-96my-256=0，由此能求出△OEM的面积最大值．
（2）由已知条件推导出A、B、E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，联立
|
解答：
解：（1）取EG的中点为H，则
+
=
，
∵(
+
)•
=0，∴
•
=0，∴PH⊥GE，
∴PH是线段EG的垂直平分线，…（2分）∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为
+
=1，…（4分）
则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b2=a2-c2=16，
∴P的轨迹C的方程为：
+
=1．…（6分）
（2）∵
=α
+(1-α)
=α
+
-α
，
∴
-
=α(
-
)，∴
=α
，∴A、B、E三点共线，…（8分）
∵E（-3，0），设AB所在直线方程为x=my-3，
联立
，整理得（16m2+25）y2-96my-256=0，
∴y1+y2=
，∴M点的纵坐标为yM=
=
，…（11分）
∴S△OEM=
|
||yM|=
×3×
=
=
≤
，
∴当16|m|=
，即m=±
时，△OEM的面积最大为
．…（13分）
| PE |
| 1 |
| 2 |
| EG |
| PH |
∵(
| PE |
| 1 |
| 2 |
| EG |
| EG |
| PH |
| EG |
∴PH是线段EG的垂直平分线，…（2分）∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|GF|=10，
∴P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b2=a2-c2=16，
∴P的轨迹C的方程为：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（2）∵
| OE |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OB |
∴
| OE |
| OB |
| OA |
| OB |
| BE |
| BA |
∵E（-3，0），设AB所在直线方程为x=my-3，
联立
|
∴y1+y2=
| 96m |
| 16m2+25 |
| y1+y2 |
| 2 |
| 48m |
| 16m2+25 |
∴S△OEM=
| 1 |
| 2 |
| OE |
| 1 |
| 2 |
| 48|m| |
| 16m2+25 |
| 72|m| |
| 16m2+25 |
| 72 | ||
16|m|+
|
| 9 |
| 5 |
∴当16|m|=
| 25 |
| |m| |
| 5 |
| 4 |
| 9 |
| 5 |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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