Question

曲线y=xsinx在点A（

π

2

，

π

2

），B（-

π

2

，

π

2

））处的切线分别为l₁，l₂，设l₁，l₂及直线x-2y+2=0围成的区域为D（包括边界）．设点P（x，y）是区域D内任意一点，则x+2y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：求出函数的切线方程，作出对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．

解答： 解：∵y=xsinx，
∴y′=sinx+xcosx，
x=

π

2

，y′=1；x=-

π

2

，y′=-1，
∴l₁：y-

π

2

=x-

π

2

，
即y=x；l₂：y-

π

2

=-（x-

π

2

），即y=-x，
l₁，l₂及直线x-2y+2=0围成的区域为D（包括边界），如图所示，
交点坐标分别为（0，0）、（2，2）、（-

2

3

，

2

3

），
∴在（2，2）处，x+2y的最大值为6．
故答案为：6．

点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及线性规划的有关知识，利用数形结合是解决本题的关键．