Question

已知正项数列{a_n}，若对于任意正整数p、q均有a_p•a_q=2^p+q成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_p•a_q=2^p+q，令p=q=n即得结论；
（Ⅱ）利用错位相减法求和即可．

解答： 解（Ⅰ）由已知，令p=q=n可得an•an=22n，------（2分）
因为a_n＞0，所以an=2n．------（5分）
（Ⅱ）bn=nan=n•2n，------（6分）
Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n，①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+(n-1)2n+n•2n+1，②
由①-②得：-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1，------（8分）
即：-Sn=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．------（10分）
整理可得：Sn=(n-1)•2n+1+2．------（12分）

点评：本题主要考查赋值法求数列通项公式及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算能力，属常规题．