Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，3，…．令b_n=

1

an

-1．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）令c_n=2n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出1+

1

an

=

2

an+1

，从而得到

1

2

(

1

an

-1)=

1

an+1

-1，再由

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，能证明{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，由此得到b_n=

1

an

-1=(

1

2

)n．
（Ⅱ）由c_n=2n•b_n=2n•（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1=

2an

an+1

，
∴an+1an +a_n+1=2a_n，∴1+

1

an

=

2

an+1

，
∴

1

2

+

1

2an

=

1

an+1

，∴

1

2

(

1

an

-1)=

1

an+1

-1，
∵a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∵b_n=

1

an

-1，∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n=

1

an

-1=(

1

2

)n．
（Ⅱ）解：∵c_n=2n•b_n=2n•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2•

1

2

+4•

1

22

+6•

1

23

+…+2n•

1

2n

，①

1

2

Tn=2•

1

22

+4•

1

23

+6•

1

24

+…+2n•

1

2n+1

，②
∴①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴Tn =4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．