Question

设函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
（1）求该函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接由分式的分母不等于0求解x的取值集合得函数的定义域；
（2）直接由函数奇偶性的定义加以判断；
（3）函数的定义域是{x|x≠0}，分x＞0和x＜0两种情况，结合指数函数的定义域进行证明．

解答： （1）解：由2^x-1≠0，得2^x≠1，即x≠0．
∴函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）的定义域是{x|x≠0}；
（2）解：函数f（x）的定义域关于原点对称，
又f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)=-x•

1+2x

2(1-2x)

=x•

1+2x

2(2x-1)

，
而f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x•

1+2x

2(2x-1)

，
∴f（-x）=f（x）．
f（x）为偶函数；
（3）证明：当x＞0时，2^x-1＞0，f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
当x＜0时，由0＜2^x＜1，
得-1＜2^x-1＜0，
∴

1

2x-1

＜-1，则

1

2x-1

+

1

2

＜-

1

2

＜0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
综上，f（x）＞0．

点评：本题考查函数的定义域及其求法，考查了函数奇偶性的判断方法，对于（3）的证明，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．