Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足Sn=2an-2(n∈N*)．
（Ⅰ）函数y=f（x）与函数y=2^x互为反函数，令b_n=f（a_n），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（Ⅱ）已知数列{c_n}满足cn=

2

3

[

an

4

+(-1)n-1]，证明：对任意的整数k＞4，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

8

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，及等比数列的通项公式可得a_n．再利用互为反函数的意义可得f（x），利用对数的运算法则可得b_n，再利用“错位相减法”即可得出T_n．
（Ⅱ）c₄=2，当n≥3时，且n为奇数时，可得

1

cn

+

1

cn+1

＜

3

2

(

1

2n-2

+

1

2n-1

)．
①当k＞4时，且k为偶数时，由

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

=

1

c4

+(

1

c5

+

1

c6

)+…+(

1

ck-1

+

1

ck

)利用上述结论和等比数列的前n项和公式即可得出；
②当k＞4时，且k为奇数时，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

+

1

ck+1

，利用上述结论即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
∵函数y=f（x）与函数y=2^x互为反函数，∴f（x）=log₂x．
∴b_n=f（a_n）=log₂a_n=log22n=n．
∴a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得：-Tn=2+22+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
（II）c4=

2

3

[

24

4

+(-1)3]=2，
当n≥3时，且n为奇数时，

1

cn

+

1

cn+1

=

3

2

(

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

)
=

3

2

•

2n-2+2n-1

22n-3+2n-1-2n-2-1

＜

3

2

•

2n-2+2n-1

22n-3

=

3

2

(

1

2n-2

+

1

2n-1

)．
①当k＞4时，且k为偶数时，
有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

=

1

c4

+(

1

c5

+

1

c6

)+…+(

1

ck-1

+

1

ck

)
＜

1

2

+

3

2

(

1

23

+

1

24

+…+

1

2k-2

)
=

1

2

+

3

2

×

1

4

×

1 2 [1-( 1 2 )k-4]

1- 1 2

=

1

2

+

3

2

×

1

4

×[1-(

1

2

)k-4]＜

1

2

+

3

8

=

7

8

＜

8

9

．
②当k＞4时，且k为奇数时，
有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

+

1

ck+1

＜

1

2

+

3

2

×

1

4

×[1-(

1

2

)k-3]＜

7

8

＜

8

9

．
综上可知：对任意的整数k＞4，有

1

c4

+

1

c5

+…+

1

ck

＜

8

9

．

点评：本题考查了“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及等比数列的通项公式求a_n、反函数的意义、对数的运算法则、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．