Question

已知圆C：（x-1）²+y²=4内有一点P（2，1），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）若弦AB的长最大，求直线l的方程；
（2）若

CA

•

CB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）弦AB的长最大时，直线l过圆心C，从而可求直线l的方程；
（2）若

CA

•

CB

=0，则△ABC为等腰直角三角形且CA=CB=2，可得点C到直线l的距离为

2

，再设出直线方程，利用点到直线的距离公式，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）∵弦AB的长最大，∴直线l过圆心C…（2分）
又kPC=

1-0

2-1

=1…（3分）
∴直线l的方程为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（6分）
（2）∵

CA

•

CB

=0，
∴△ABC为等腰直角三角形且CA=CB=2…（8分）
则：点C到直线l的距离为

2

，
直线l显然存在斜率，设直线l的方程为y-1=k（x-2），即：kx-y+1-2k=0，
则：

|1-k|

1+k2

=

2

解得：k=-1…（10分）
∴直线l的方程为y-1=-（x-2），即：x+y-3=0…（12分）

点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．