题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）根据棱锥的体积公式即可求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）根据线面平行的判断定理即可证明PC∥平面BDE；
（3）根据线面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE．
（2）根据线面平行的判断定理即可证明PC∥平面BDE；
（3）根据线面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE．
解答：
解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=
S正方形ABCD•PA=
×12×2=
即四棱锥P-ABCD的体积为
．
（2）连结AC交BD于O，连结OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥CE．
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有CD?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE．
∴VP-ABCD=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
即四棱锥P-ABCD的体积为
| 2 |
| 3 |
（2）连结AC交BD于O，连结OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥CE．
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有CD?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE．
点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及线面垂直的判断和性质，以及空间几何体的体积计算，要求熟练掌握相应的判断定理和性质定理的应用．
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关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
③若m?α，n?β且α⊥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．
其中假命题有（ ）
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
③若m?α，n?β且α⊥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．
其中假命题有（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
空间直线a、b、c，则下列命题中真命题的是（ ）
| A、若a⊥b，c⊥b，则a∥c |
| B、若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线 |
| C、若a∥c，c⊥b，则a⊥b |
| D、若a∥b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线 |
某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|