Question

已知函数f（x）=x+

a

x

．
（1）若a≤4，说明函数f（x）在区间（2，+∞）的单调性，并利用单调性的定义证明；
（2）请问y=f（x）在定义域内是奇函数还是偶函数，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（2）利用奇偶函数的定义进行判断f（-x）与f（x）的关系．

解答： （1）解：a≤4，函数f（x）在区间（2，+∞）的是单调增函数；
证明：任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

a

x1

）-（x2+

a

x2

）=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，
因为2＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，a≤4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+

a

x

在（2，+∞）上为增函数．
（2）函数f（x）在定义域内是奇函数；
证明：∵函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称；
f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）；
所以函数f（x）在定义域内是奇函数．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断；单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，奇偶性的判定主要利用定义，要熟练掌握，属于基础题．